Problème de logique (faces et arêtes)

#1

Imaginez une montagne avec 4 faces parfaitement lises. 4 plans parfaits.
Les 4 faces sont placées de manière que la base de la montagne forme un carré parfait.
Comme une pyramide d’Egypte, quoi.
Les 4 faces ont une inclinaison de 40°

Quelle est l’inclinaison des arêtes?

(jusqu’à ici le sondage)*

Comment êtes-vous arrivés à ce résultat?

Et si la montagne n’a que 3 faces inclinées 40° qui forment un triangle équilatère comme base,
quelle est l’inclinaison des arêtes dans ce cas?

Pour la même inclinaison des faces, l’inclinaison des arêtes dépend du nombre de faces?
en quel sens?

#2

Posté en tant qu’invité par nico069:

30,682deg pour le carre
22,76deg pour le triangle

J’ai modeliser en 3d pour verifier

#3

Soit L la largeur d’un côté, h la hauteur et d la diagonale du carré de la base :
sans filet pour la première question :
h=L.sin(40)/2
d=L.sqr(2)
inclinaison=atan(h/(d/2))=atan(sin(40)/sqr(2))=24,44°

#4

ni l’un, ni l’autre, un peu moins que la face, genre 30° au pif.

#5

soit h la hauteur de la montagne, l la largeur de la face et a la distance du centre de la base à la base de l’arête.

inclinaison = arctan(h/a)

pour le carré:

a = l/sqr(2)
h = tan40*l/2

=> inclinaison = arctan(tan40/sqr(2)) = 30.68°

pour le triangle:

a = lsqr(13)/6
h = tan40l/3

=> inclinaison: arctan(2*tan40/sqr(13)) = 24.95°

#6

et si la montagne à deux faces? :lol:

#7

[quote=J2LH]Soit L la largeur d’un côté, h la hauteur et d la diagonale du carré de la base :
sans filet pour la première question :
h=L.sin(40)/2
d=L.sqr(2)
inclinaison=atan(h/(d/2))=atan(sin(40)/sqr(2))=24,44°[/quote]
Je me suis planté
h=L.tan(40)/2
d=L.sqr(2)
inclinaison=atan(h/(d/2))=atan(tan(40)/sqr(2))=30,68°

#8

un coq pond un oeuf au sommet du Mont dolent, le poussin sera Italien, Suisse ou Français ?

#9
  • Et toi, ton papa y fait quoi ?
  • Curé…
#10

Posté en tant qu’invité par Mapoule:

Il sera… un MIRACLE.

#11

Alors ça doit beaucoup ressembler aux Dentelles de Montmirail

#12

[quote=arteson]pour le carré:
a = l/sqr(2)
h = tan40*l/2
=> inclinaison = arctan(tan40/sqr(2)) = 30.68°[/quote]
OK !

[quote=arteson]pour le triangle:
a = lsqr(13)/6
h = tan40l/3
=> inclinaison: arctan(2*tan40/sqr(13)) = 24.95°[/quote]
Là, pas d’accord (pour a et pour h) :

a = l*sqrt(3)/3
h = tan(40)lsqrt(3)/6
=> inclinaison: arctan(tan(40)/2) = 22.76° (soit le résultat de nico069).

NB (notation) : pour moi sqr = carré, sqrt = racine carrée.

#13

Donc,

plus de faces a la montagne, plus raides sont les arêtes, tout en s’approchant à l’inclinaison des faces à fur et à mesure que l’on augmente le nombre de faces.
(Quand la montagne s’approche a un nombre infini de faces, l’inclinaison des arêtes s’approche à celle des faces, 40°).

Conclusion,

une montagne de moins de faces (3, p.ex) est plus facile de monter par ses arêtes qu’une montagne de plusieurs faces,

ce qui semble contre-intuitive!
Car moins de faces à la montage, plus aiguisées sont ses arêtes (mais moins raides!)

C’est curieux, non? :slight_smile:

#14

ah ben non (ou si, mais là c’est un problème sémantique). Les arêtes seront toujours moins verticales ou plus inclinées (plus proches de l’horizontale) que les faces adjacentes.

#15

ah ben non (ou si, mais là c’est un problème sémantique). Les arêtes seront toujours moins verticales ou plus inclinées (plus proches de l’horizontale) que les faces adjacentes.[/quote]
Glups… corrigé dans mon post: « inclinées » par « raides ».
Merci!

#16

Intéressante ton observation ! :slight_smile:

#17

Pour mieux comprendre le pourquoi du comment, et sans calcul, il faut partir du cas limite, le cône de révolution.
Une infinité de faces de largeur nulle, une infinité d’arêtes de même inclinaison que les faces (40°).

Sans changer la hauteur de l’édifice, ni la pente des faces (toujours 40°), une pyramide régulière aura alors ses faces tangentes au cône.

Projetons le tout au sol : on obtient un cercle (la base du cône), et un polygone régulier dans lequel le cercle est inscrit (chaque côté du polygone est donc tangent au cercle en son milieu).

Moins il y a de faces, plus l’angle entre 2 côtés adjacents du polygone est aigu ; ce qui se traduit en 3D par des arêtes plus « aiguisées » comme dit Dani.
Mais en même temps, les sommets du polygone s’éloignent de son centre (à savoir le centre du cercle), ce qui se traduit en 3D par un allongement des arêtes, et comme le sommet est fixe, forcément par une diminution de la pente de ces arêtes.

PS : faîtes un dessin pour mieux suivre mes explications.

#18

Posté en tant qu’invité par Al Biruni:

Soit une montagne munie d’un nombre arbitraire de faces sud. Quelles sont les coordonnees GPS de cette montagne?

:cool:

#19

Posté en tant qu’invité par fred001:

Avec deux faces planes

  1. montagne pas très solide.
  2. longue montagne sur une terre ronde…
#20

[quote=Al Biruni]Soit une montagne munie d’un nombre arbitraire de faces sud. Quelles sont les coordonnees GPS de cette montagne?

:cool:[/quote]
90° N
0° E/W

C’est une montagne juste sur le pôle N !!

Mais qui est capable de donner les coordonnées en UTM?
Est-ce possible?
:wink: